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2012

2012 AMC10 真题及解析2012 AMC10 Paper & Solutions 精选Pick A卷Paper A

25 题含解析，组合计数题难度提升，几何侧重面积变换。25 questions with solutions, harder combinatorics, geometry focuses on area transformations.

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25 道选择题25 Questions

75 分钟限时40 Minutes

满分 150 分Max Score 25

不可用计算器No Calculator

Exam Overview

考试概览Exam Overview

组合计数难度提升，几何侧重面积变换。This exam emphasizes geometry, combinatorics, area calculations. Overall difficulty is moderate.

D难度分布Difficulty

Easy 基础Easy第 1-10 题Q1-10
Medium 中等Medium第 11-20 题Q11-20
Hard 较难Hard第 21-25 题Q21-25

T考点分布Topics

代数Algebra30%

几何Geometry30%

数论Number Theory20%

组合Combinatorics20%

A奖项分数线Awards

DHR 卓越荣誉奖AIME Qualification

AIME Qualification (Top 2.5%)

115+

HR 荣誉奖Honor Roll

Honor Roll (Top 5%)

97+

Achievement Roll

六年级及以下 · 15分以上Grade 6 and below · 15+ points

88+

Sample Problems

2012 AMC10 真题参考示例（共 12 题）2012 AMC10 Sample Problems (12 questions)

以下为 Easy / Medium / Hard 难度参考示例题目，仅供练习参考，点击选项查看答案Sample reference problems by difficulty — click an option to check your answer

第 1 题Q1Easy多项式求值Polynomial

若 f(x) = 2x² - 5x + 1，求 f(2) 的值。If f(x) = 2x² - 5x + 1, find f(2).

A) -5

B) -3

C) -1

D) 1

E) 3

解题步骤Steps

1f(2) = 2×2² - 5×2 + 1

2= 2×4 - 10 + 1 = -1

正确答案：CAnswer: C代入后先乘方再乘除最后加减Substitute, then exponentiate, multiply/divide, add/subtract

第 3 题Q3Easy等差数列Arithmetic Seq

等差数列首项 a₁=3，公差 d=4，求第 10 项。Arithmetic sequence: a₁=3, d=4, find the 10-th term.

A) 31

B) 35

C) 43

D) 39

E) 47

解题步骤Steps

1aₙ = a₁ + (n-1)d

2a_10 = 3 + 9×4 = 39

正确答案：DAnswer: D通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)dGeneral term: aₙ=a₁+(n-1)d

第 5 题Q5Easy指数运算Exponent

若 2ˣ = 8，求 x 的值。If 2ˣ = 8, find x.

A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

E) 3

解题步骤Steps

18 = 2^3

2故 x = 3

正确答案：EAnswer: E化为同底数幂，比较指数Convert to same base, compare exponents

第 7 题Q7Easy韦达定理Vieta's

方程 x² - 7x + 4 = 0 的两根之和是多少？Sum of roots of x² - 7x + 4 = 0?

A) 7

B) 3

C) 5

D) 9

E) 11

解题步骤Steps

1韦达定理：两根之和 = -(-7)/1 = 7

2两根之积 = 4

正确答案：AAnswer: Ax²-px+q=0 两根之和为 pFor x²-px+q=0, sum of roots = p

第 10 题Q10Medium整除计数Divisibility

从 1 到 42 的正整数中，有多少个能被 3 整除？How many integers from 1 to 42 are divisible by 3?

A) 10

B) 14

C) 12

D) 16

E) 18

解题步骤Steps

1⌊42 / 3⌋ = 14

正确答案：BAnswer: B能被 k 整除的个数 = ⌊n/k⌋Count divisible by k: ⌊n/k⌋

第 12 题Q12Medium多边形对角线Diagonals

正 7 边形共有多少条对角线？How many diagonals does a regular 7-gon have?

A) 8

B) 11

C) 14

D) 17

E) 20

解题步骤Steps

1对角线数 = n(n-3)/2

2= 7×4/2 = 14

正确答案：CAnswer: Cn 边形对角线公式 n(n-3)/2n-gon diagonals: n(n-3)/2

第 15 题Q15Medium组合数Combination

计算 C(8, 3) 的值。Compute C(8, 3).

A) 44

B) 50

C) 62

D) 56

E) 68

解题步骤Steps

1C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6

2= 8×7×6/6 = 56

正确答案：DAnswer: D组合数公式 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)Combination: C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)

第 17 题Q17Medium勾股定理Pythagorean

直角三角形两直角边长为 6 和 8，求斜边长。Right triangle legs 6 and 8, find the hypotenuse.

A) 6

B) 8

C) 12

D) 14

E) 10

解题步骤Steps

1c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

2c = √100 = 10

正确答案：EAnswer: E勾股定理 a²+b²=c²Pythagorean theorem a²+b²=c²

第 20 题Q20Hard模运算Modular Arith

求 3^4 除以 5 的余数。Find the remainder of 3^4 divided by 5.

A) 1

B) 0

C) 2

D) 3

E) 4

解题步骤Steps

1计算 3^4 mod 5

2由模运算性质逐步化简

3=1

正确答案：AAnswer: A模运算可逐步取余简化大指数Modular arithmetic simplifies large exponents

第 22 题Q22Hard配方法Completing Sq

函数 f(x) = x² - 4x + 7 的最小值是多少？Find the minimum of f(x) = x² - 4x + 7.

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

解题步骤Steps

1配方：f(x) = (x - 2)² + 3

2当 x = 2 时取最小值 3

正确答案：BAnswer: B配方法是求二次函数最值的标准方法Completing the square for quadratic extrema

第 24 题Q24Hard容斥原理Inclusion-Excl

将 4 个不同球放入 3 个不同盒子，每盒至少 1 球，有多少种放法？4 distinct balls into 3 distinct boxes, each ≥1 ball, how many ways?

A) 26

B) 31

C) 36

D) 41

E) 46

解题步骤Steps

1总数 3^4 = 81

2减去有空盒: -C(3,1)×2^4 = -48

3加回两个空盒: +C(3,2)×1 = +3

4总计 81 - 48 + 3 = 36

正确答案：CAnswer: C容斥原理处理"至少"条件Inclusion-exclusion handles 'at least'

第 25 题Q25Hard余弦定理Law of Cosines

△ABC 中 a=5, b=6, cos C=1/2，求 c²。In △ABC, a=5, b=6, cos C=1/2, find c².

A) 23

B) 27

C) 35

D) 31

E) 39

解题步骤Steps

1余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cos C

2= 25 + 36 - 30 = 31

正确答案：DAnswer: D余弦定理是解三角形的核心Law of cosines is key for solving triangles

第 1 题Q1Easy多项式求值Polynomial

若 f(x) = 2x² - 7x + 1，求 f(2) 的值。If f(x) = 2x² - 7x + 1, find f(2).

A) -9

B) -7

C) -5

D) -3

E) -1

解题步骤Steps

1f(2) = 2×2² - 7×2 + 1

2= 2×4 - 14 + 1 = -5

正确答案：CAnswer: C代入后先乘方再乘除最后加减Substitute, then exponentiate, multiply/divide, add/subtract

第 3 题Q3Easy等差数列Arithmetic Seq

等差数列首项 a₁=5，公差 d=4，求第 10 项。Arithmetic sequence: a₁=5, d=4, find the 10-th term.

A) 31

B) 36

C) 46

D) 41

E) 51

解题步骤Steps

1aₙ = a₁ + (n-1)d

2a_10 = 5 + 9×4 = 41

正确答案：DAnswer: D通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)dGeneral term: aₙ=a₁+(n-1)d

第 5 题Q5Easy指数运算Exponent

若 2ˣ = 8，求 x 的值。If 2ˣ = 8, find x.

A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

E) 3

解题步骤Steps

18 = 2^3

2故 x = 3

正确答案：EAnswer: E化为同底数幂，比较指数Convert to same base, compare exponents

第 7 题Q7Easy韦达定理Vieta's

方程 x² - 9x + 4 = 0 的两根之和是多少？Sum of roots of x² - 9x + 4 = 0?

A) 9

B) 5

C) 7

D) 11

E) 13

解题步骤Steps

1韦达定理：两根之和 = -(-9)/1 = 9

2两根之积 = 4

正确答案：AAnswer: Ax²-px+q=0 两根之和为 pFor x²-px+q=0, sum of roots = p

第 10 题Q10Medium整除计数Divisibility

从 1 到 44 的正整数中，有多少个能被 3 整除？How many integers from 1 to 44 are divisible by 3?

A) 10

B) 14

C) 12

D) 16

E) 18

解题步骤Steps

1⌊44 / 3⌋ = 14

正确答案：BAnswer: B能被 k 整除的个数 = ⌊n/k⌋Count divisible by k: ⌊n/k⌋

第 12 题Q12Medium多边形对角线Diagonals

正 9 边形共有多少条对角线？How many diagonals does a regular 9-gon have?

A) 21

B) 24

C) 27

D) 30

E) 33

解题步骤Steps

1对角线数 = n(n-3)/2

2= 9×6/2 = 27

正确答案：CAnswer: Cn 边形对角线公式 n(n-3)/2n-gon diagonals: n(n-3)/2

第 15 题Q15Medium组合数Combination

计算 C(10, 3) 的值。Compute C(10, 3).

A) 94

B) 107

C) 133

D) 120

E) 146

解题步骤Steps

1C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6

2= 10×9×8/6 = 120

正确答案：DAnswer: D组合数公式 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)Combination: C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)

第 17 题Q17Medium勾股定理Pythagorean

直角三角形两直角边长为 7 和 24，求斜边长。Right triangle legs 7 and 24, find the hypotenuse.

A) 21

B) 23

C) 27

D) 29

E) 25

解题步骤Steps

1c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625

2c = √625 = 25

正确答案：EAnswer: E勾股定理 a²+b²=c²Pythagorean theorem a²+b²=c²

第 20 题Q20Hard模运算Modular Arith

求 3^4 除以 5 的余数。Find the remainder of 3^4 divided by 5.

A) 1

B) 0

C) 2

D) 3

E) 4

解题步骤Steps

1计算 3^4 mod 5

2由模运算性质逐步化简

3=1

正确答案：AAnswer: A模运算可逐步取余简化大指数Modular arithmetic simplifies large exponents

第 22 题Q22Hard配方法Completing Sq

函数 f(x) = x² - 4x + 9 的最小值是多少？Find the minimum of f(x) = x² - 4x + 9.

A) 1

B) 5

C) 3

D) 7

E) 9

解题步骤Steps

1配方：f(x) = (x - 2)² + 5

2当 x = 2 时取最小值 5

正确答案：BAnswer: B配方法是求二次函数最值的标准方法Completing the square for quadratic extrema

第 24 题Q24Hard容斥原理Inclusion-Excl

将 4 个不同球放入 3 个不同盒子，每盒至少 1 球，有多少种放法？4 distinct balls into 3 distinct boxes, each ≥1 ball, how many ways?

A) 26

B) 31

C) 36

D) 41

E) 46

解题步骤Steps

1总数 3^4 = 81

2减去有空盒: -C(3,1)×2^4 = -48

3加回两个空盒: +C(3,2)×1 = +3

4总计 81 - 48 + 3 = 36

正确答案：CAnswer: C容斥原理处理"至少"条件Inclusion-exclusion handles 'at least'

第 25 题Q25Hard余弦定理Law of Cosines

△ABC 中 a=7, b=6, cos C=1/2，求 c²。In △ABC, a=7, b=6, cos C=1/2, find c².

A) 33

B) 38

C) 48

D) 43

E) 53

解题步骤Steps

1余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cos C

2= 49 + 36 - 42 = 43

正确答案：DAnswer: D余弦定理是解三角形的核心Law of cosines is key for solving triangles

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T考点分布Topics

A奖项分数线Awards

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解题步骤Steps

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